圆锥曲线的定义作图

2020-06-26  阅读 424 次


圆锥曲线的定义

抛物线、椭圆、双曲线等圆锥截痕有各种不同的定义方式,目前高中教材中选择的是与焦点与固定长有关的定义方式,分别定义如下:

抛物线:

给定一直线 $$L$$ 及线外一点 $$F$$,若平面上的动点 $$P$$ 满足到 $$F$$ 点的距离等于到直线 $$L$$ 的距离,即 $$\overline{PF}=d(P,L)$$,则所有动点 $$P$$ 所形成的图形为抛物线。

椭圆:

给定两点 $$F_1$$ 与 $$F_2$$,以及一固定值 $$2a$$,其中 $$2a>\overline{F_1F_2}$$,若平面上的动点 $$P$$ 满足到 $$F_1$$、$$F_2$$ 的距离和等于此固定值,即 $$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$$,则所有动点 $$P$$ 所形成的图形为椭圆。

双曲线:

给定两点 $$F_1$$ 与 $$F_2$$,以及一固定值 $$2a$$,其中 $$2a<\overline{F_1F_2}$$,若平面上的动点 $$P$$ 满足到 $$F_1$$、$$F_2$$ 的距离差等于此固定值,即 $$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$$,则所有动点 $$P$$ 所形成的图形为双曲线。

从这样的定义方式并没有办法看出图形的样子,在还没导出标準式之前,也无法藉由描点的方式画图。因此,要能够「接受」这样的定义方式确实可以画出所定义的图形,就必须经由作图工具的辅助才行。

GGB绘图

作图工具之一即是利用电脑软体模拟,而 GeoGebra(简称GGB)是目前较为主流的数学绘图软体。GGB 的绘图基本原理为尺规作图,再加上一些几何变换。不过因为可以模拟动态轨迹,因此在作轨迹问题的图形时,不失为一方便有效的教学应用软体。在作图时,只要在工具列中选择适当的工具,如点、线段、直线或圆,作垂直线、平行线、中垂线等等,或者是伸缩、平移、对称、旋转等变换,即可轻鬆作出图形。以下即为利用 GGB 的圆锥曲线定义作图:

抛物线:

画一直线 $$L$$,及线外一点 $$F$$,在 $$L$$ 上任取一点 $$Q$$,连 $$\overline{QF}$$;过 $$Q$$ 作 $$L$$ 的垂线 $$M$$,以及 $$\overline{QF}$$ 的中垂线 $$N$$,$$M$$ 与 $$N$$ 交于一点 $$P$$,让 $$Q$$ 沿着直线 $$L$$ 移动,$$P$$ 点的轨迹即为所求的抛物线(先在 $$P$$ 点按右键,选择「显示移动轨迹」,然后在 $$Q$$ 点按右键,选择「开始动画」)。

因为 $$P$$ 点在的中垂线 $$N$$ 上,所以 $$\overline{PF}=\overline{PQ}$$,又 $$\overline{PQ}$$ 即为 $$P$$ 到直线 $$L$$ 的距离,所以 $$P$$ 点满足 $$\overline{PF}=d(P,L)$$ 的定义,其轨迹为抛物线。

圆锥曲线的定义作图

在上述过程中,中垂线 $$N$$ 即为过抛物线上一点 $$P$$ 的切线,而 $$L$$ 的垂线 $$M$$ 即为与对称轴平行的直线,因此在这个作法中,亦可藉由此说明抛物线的光学性质:

抛物线上任一点 $$P$$,
$$\overline{PF}$$ 及过 $$P$$ 平行于轴的轴的射线,与过 $$P$$ 的切线 $$N$$ 所夹的角度相等(如上图,$$\alpha=\beta$$)。

椭圆:

作两点 $$F_1$$ 与 $$F_2$$,及 $$\overline{AB}$$ 等于给定值 $$2a$$,让 $$\overline{AB}>\overline{F_1F_2}$$,以 $$F_1$$ 为圆心,$$\overline{AB}$$ 为半径作圆;在圆上任取一点 $$Q$$,连 $$\overleftrightarrow{F_1Q}$$与 $$\overline{QF_2}$$,作 $$\overline{QF_2}$$ 的中垂线 $$L$$,与 $$\overleftrightarrow{F_1Q}$$ 交于一点 $$P$$,让 $$Q$$ 点沿着圆移动,$$P$$ 点的轨迹即为椭圆(先在 $$P$$ 点按右键,选择「显示移动轨迹」,然后在 $$Q$$ 点按右键,选择「开始动画」)。

因为 $$P$$ 为 $$\overline{QF_2}$$ 中垂线 $$L$$ 上一点,所以 $$\overline{PF_2}=\overline{PQ}$$,故

$$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\overline{PF_1}+\overline{PQ}=2a$$ (半径)

因此 $$P$$ 点满足 $$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$$,其轨迹为椭圆。

圆锥曲线的定义作图

在上述过程中,中垂线 $$L$$ 即为过椭圆上一点 $$P$$ 的切线,因此在这个作法中,亦可藉由此说明椭圆的光学性质:

椭圆上任一点 $$P$$ 的两条焦半径 $$\overline{PF_1}$$ 与 $$\overline{PF_2}$$,与过 $$P$$ 的切线 $$L$$ 所夹的角度相等(如上图,$$\alpha=\beta$$)。

双曲线:

作两点 $$F_1$$ 与 $$F_2$$,及 $$\overline{AB}$$ 等于给定值 $$2a$$,让 $$\overline{AB}<\overline{F_1F_2}$$,以 $$F_1$$ 为圆心,$$\overline{AB}$$ 为半径作圆;在圆上任取一点 $$Q$$,连 $$\overleftrightarrow{F_1Q}$$ 与 $$\overline{QF_2}$$,作 $$\overline{QF_2}$$ 的中垂线 $$L$$,与交于一点 $$P$$,让 $$Q$$ 点沿着圆移动,$$P$$ 点的轨迹即为双曲线(先在 $$P$$ 点按右键,选择「显示移动轨迹」,然后在 $$Q$$ 点按右键,选择「开始动画」)。

因为 $$P$$ 为中垂线 $$L$$ 上一点,所以 $$\overline{PF_2}=\overline{PQ}$$,故

$$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=|\overline{PF_1}-\overline{PQ}|=2a$$ (半径)

因此 $$P$$ 点满足 $$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$$,其轨迹为双曲线。

圆锥曲线的定义作图

在上述过程中,中垂线 $$L$$ 即为过双曲线上一点 $$P$$ 的切线,因此在这个作法中,亦可藉由此说明双曲线的光学性质:

双曲线上任一点 $$P$$ 的两条焦半径 $$\overline{PF_1}$$ 与 $$\overline{PF_2}$$,与过 $$P$$ 的切线 $$L$$ 所夹的角度相等(如上图,$$\alpha=\beta$$)。

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